Unterrichtsmaterialien Mathematik: Ganze Werke Seite 19/32
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digital unterrichten – Mathematik -4/2021
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Learning to the test: Passung schaffen
Schriftliche Prüfungen bestimmen allzu oft den Unterrichtsverlauf. Das Trainieren und Einüben von Aufgaben für den anstehenden Test oder die Klausur verdrängt das Verstehen. Wird das Prüfen jedoch konstruktiver Bestandteil des Unterrichts, können Lernen und Prüfen Hand in Hand zu einer Förderung der Selbstverantwortung der Lernenden führen Anhand verschiedener Beispiele zu unterschiedlichen Inhalten wird gezeigt, wie Schülerinnen und Schüler einen konstruktiven Umgang mit Fehlern lernen sowie tragfähige Wiederholungsbausteine erarbeiten und verwenden können, die zu einem individuellen Learning to the test und selbstverantwortlicher Prüfungsvorbereitung führen. Aus dem Inhalt: Sinnstiftend wiederholen; Metablick auf Abituraufgaben; Lernen für die Abschlussprüfung – mit Sinn & System. Die zugehörige MatheWelt „Funktioniert’s mit Funktionen? – Mach den smart-Test“ stellt anhand der angepassten Übersetzung zweier australischer smart-Tests ein Konzept vor, anhand dessen sich die Lernenden mithilfe von Lösungen und Tipps selbst kontrollieren und ihr Verständnis erweitern können.
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Der Fragebogen
Von der Idee hin zur statistischen Auswertung von Erhebungen - das praxisnahe Lehrbuch in bereits 6. Auflage! Wie plant man eine empirische Erhebung? Wie gestaltet man einen Fragebogen? Wie werden die Daten analysiert und interpretiert? In gut nachvollziehbaren Schritten bietet dieses Lehrbuch einen praktischen Leitfaden für die Umsetzung wissenschaftlicher Erhebungen. Das Buch behandelt von der Formulierung einer Forschungsidee über die Konstruktion eines Fragebogens bis hin zu den wichtigsten Auswertungsschritten mit dem Statistikprogramm SPSS, Version 26, alle wichtigen Stufen und beinhaltet viele Beispiele.
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Wurzelgleichungen
Das Lösen von Potenzen und Wurzeln und die Äquivalenzumformungen über Gleichungen/Ungleichungen werden wiederholt. Zur Motivation der Anwendung von Wurzelgleichungen dient eine Aufgabe zu Berechnungen am Obelisken von Luxor, der seit 1836 auf dem Place de la Concorde in Paris steht. Anschließend wird der Begriff der Wurzelgleichung einschließlich einer Schrittfolge zum Lösen derselben eingeführt. Übung und Festigung erfolgen durch das Lösen entsprechender Aufgaben in Gruppenarbeit in Form eines Lernzirkels.
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Anwendungen zum Vektorprodukt
Dieser Beitrag beinhaltet Beispiele und Aufgaben (mit Lösungen) zum Thema „Vektorprodukt“. Kenntnisse über das Vektorprodukt erleichtern viele Rechnungen z. B. in der analytischen Geometrie. Darüber hinaus stärken sie das geometrische Vorstellungsvermögen. Anliegen des Beitrages ist es, dass die Schülerinnen und Schüler das Vektorprodukt zweier Vektoren berechnen, geometrisch interpretieren und bei Aufgaben sicher anwenden können. Den Abschluss bildet ein Vorschlag für eine Lernerfolgskontrolle.
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Das Skalarprodukt berechnen, geometrisch interpretieren und nutzen
Dieser Beitrag bietet Beispiele und Aufgaben (mit Lösungen) zum Thema „Skalarprodukt“ an. Es geht darum, dass die Schülerinnen und Schüler das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen, geometrisch interpretieren und bei Berechnungen sicher anwenden können. Mithilfe des Skalarprodukts ist es z. B. möglich, den Abstand eines Punktes von einer Geraden, den Schnittwinkel zweier Geraden oder den geringsten Abstand zweier windschiefer geradliniger Flugbahnen zu berechnen.
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Grundstrukturen der linearen Algebra
Gruppen, Ringe und Körper bilden die Grundstrukturen der linearen Algebra, auf der ja das Gebiet Analytische Geometrie basiert. Oberstufenschüler werden mit diesem Beitrag schrittweise an die axiomatische Denkweise im Mathematikstudium herangeführt. Vielfältige Übungsaufgaben runden den Beitrag ab.
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MINT Zirkel - Ausgabe 1, Januar 2021
Wer sich einmal gefragt hat, wie die Erforschung der Viren begann, ein Abschleppdienst im All aussehen könnte und wie man erfolgreich einen MINT-Cup in der Schule organisiert und umsetzt wird in der aktuellen Ausgabe fündig. Diese und weitere spannende Artikel erwarten euch. Zusätzlich dürft ihr euch auch über ein kleines KI-Rätsel und zwei Arbeitsblätter zur Ergänzung der Artikel „Verwendung digitaler Modelle im naturwissenschaftlichen Unterricht“ und „MINT-Cup organisieren und umsetzen“ freuen. Probiert es doch mal aus!
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Das Newtonverfahren zur Nullstellenbestimmung
Das Newtonnäherungsverfahren ist ein numerisches Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von differenzierbaren Funktionen. Im Unterricht kann dieses Verfahren gut mit einer Tabellenkalkulationssoftware umgesetzt werden. Auf diese Weise können digitale Kompetenzen in Verbindung mit mathematischen Inhalten aufgebaut und vertieft werden. Der Beitrag baut auf einer beispielhaften Anwendungssituation mit Bezug zur CO2-Emission in Deutschland auf, sodass ein handlungs- und problemorientierter Unterricht gestaltet werden kann.
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Hypergeometrische Verteilung - Poisson-Verteilung
Der Beitrag ermöglicht Ihren Schülerinnen und Schülern, weitgehend selbstständig die Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten zweier eher „exotischer“ Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu erarbeiten. Mit vielfältigen Differenzierungsmöglichkeiten können Sie eine individuelle Förderung innerhalb der Lerngruppen erzielen. Bei der Auswahl der Beispiele wurde auf ein Gleichgewicht zwischen Kontextbezug und innermathematischen Aspekten Wert gelegt, wobei die gewählten Alltagssituationen nicht aufgesetzt sind, sondern solide recherchiertes Datenmaterial enthalten und weitgehend dem Lebensumfeld der Jugendlichen entnommen sind.
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Schießleistungen im Biathlon
Aufgaben aus dem Sport motivieren viele Jugendliche. Da es sich hier um die Leistungen einer Athletin, nämlich Denise Herrmann, handelt, spricht der Beitrag auch Schülerinnen besonders stark an. Mit Binomialverteilungen ermitteln die Lernenden, welche Schießleistungen von einer Biathletin im Verlauf einer Wintersaison zu erwarten sind.
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Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert bei der Münzentnahme aus einem Glas
Wie viele Münzen muss Manuela aus dem Glas ziehen, bis sie drei Euro beisammenhat? Bei einem Zug aus dem Gefäß erwartet sie eine Münze mit dem Wert 1,05 € – wie ist das möglich? In diesem Beitrag erarbeiten sich die Lernenden die Lösungen mithilfe von Simulationen, die sie selbst mit einem Tabellenkalkulationsprogramm erstellen. Digitale Werkzeuge benutzen zu können wird in unserer heutigen Zeit für alle immer wichtiger. Der Beitrag enthält daher Schritt-für-Schritt-Anleitungen, sodass auch Lernschwächere den Einstieg in die Welt der Tabellenkalkulation meistern.
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Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Die 3D-Druck-Technologie stellt ein leicht zu handhabendes, innovatives und zuverlässiges digitales Werkzeug für einen anschaulichen und anwendungsbezogenen Mathematikunterricht dar. Durch das Zusammenspiel aus CAD-Software und 3D-Druckern lässt sich das Mathematiklehren und -lernen im Unterricht in vielen Inhaltsbereichen ansprechend und differenzierend gestalten. Auf Grund einer technischen und einer ausführlichen fachdidaktischen Einführung sind keine besonderen Vorkenntnisse in Sachen 3D-Druck notwendig. Das Buch beinhaltet fünfzehn konkret ausgearbeitete, an aktuellen Bildungsvorgaben orientierte Unterrichtseinheiten mit Kopiervorlagen und Lösungshinweisen zu zentralen Themen der Sekundarstufen I und II (Geometrie, Algebra, Funktionen, Wahrscheinlichkeitsrechnung).
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Visualisierungen als Arbeitsmittel
Ein Bild kann einen Sachverhalt anschaulich machen, allgemeine Strukturen aufzeigen und Zusammenhänge darstellen. Daher spielen Visualisierungen eine wichtige Rolle beim Lernen – auch in der Mathematik. Bei welchen mathematischen Tätigkeiten können Visualisierungen wirklich sinnvoll genutzt werden und was ist für einen gewinnbringenden Einsatz wichtig? Anhand verschiedener Beispiele zu unterschiedlichen Inhalten wird gezeigt, wie Schülerinnen und Schüler den Umgang mit tragfähigen Visualisierungen erlernen können. Denn wie man gute Skizzen erstellt und mit Prozentstreifen, Einheitsquadraten oder Häufigkeitsnetzen arbeitet, ist kein Selbstläufer. Aus dem Inhalt: • Visualisierungen zur Brüchen gezielt auswählen • Grundvorstellungen zum Integral mit dynamische (GeoGebra-)Visualisierungen entwickeln • Situationsskizzen und mathematische Skizzen beim Modellieren nutzen Die zugehörige MatheWelt „Wie fair kann Zufall sein?“ zeigt, wie stochastische Zusammenhänge durch passende Visualisierungen sichtbar, begründbar und nutzbar werden.
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Kuboktaeder
Der Kuboktaeder ist vorstellungsweise ein Würfel, dessen acht Ecken abgeschnitten wurden. Um diese Körperform z. B. aus einem Gesteinswürfel zu erhalten, kennzeichnet man die Mittelpunkte aller Würfelkanten und schneidet die dadurch markierten acht Eckpyramiden ab. Die besondere Form des Körpers bietet Anlass zur Untersuchung einiger geometrischer Fragestellungen, die von der elementaren räumlichen Geometrie bis zur analytischen Vektorgeometrie des Raumes reichen. Mit diesem Beitrag schulen Sie insbesondere das räumliche Vorstellungsvermögen der Lernenden.
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Die Euler'sche Gerade
In diesem Beitrag lernen Ihre Schülerinnen und Schüler die Euler‘sche Gerade kennen, die nach dem berühmten Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707–1783) benannt wurde. Sie beschreibt eine Gerade durch drei charakteristische Punkte eines Dreiecks: den Umkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt. Genauso wie Euler wird Ihre Klasse erstaunliche Eigenschaften der Punkte und Geraden entdecken und sie sowohl an konkreten Beispielen überprüfen als auch allgemein beweisen.
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Normalformen affiner Abbildungen
Abbildungen, die Eigenschaften von Objekten wie Winkel, Parallelität und Teilverhältnisse erhalten, spielen in vielen Bereichen von Wissenschaft und Technik, etwa Bildbearbeitung oder Kartografie, eine wichtige Rolle. Es handelt sich dabei um die Translation, Drehung, Spiegelung und zentrische Streckung/Stauchung. Alle diese Operationen können mit affinen Abbildungen dargestellt werden. Wählt man für einen linearen Vektorraum eine feste Basis aus Einheitsvektoren, lassen sich affine Abbildungen durch Matrizen darstellen. Die Kenntnis von Eigenwerten und Eigenvektoren und der Normalform einer solchen Abbildung bzw. ihrer darstellenden Matrix ermöglicht vielfältige Berechnungen. Diese mathematischen Konzepte werden hier Schritt für Schritt erklärt und eingeübt.
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Problemlösen im Mathematikunterricht
Problemlösen wird – wie im Titelbild angedeutet – oft als Überwinden von Barrieren beschrieben. Es ist wichtiger Bestandteil aller curricularen Vorgaben und vieler Lerntheorien und damit eigentlich auch des Mathematikunterrichts. Dennoch spielt Problemlösen in der Unterrichtsrealität oft keine zentrale Rolle. In den fünf Beiträgen dieses Hefts wird die Unterrichtsrealität in den Blick genommen: Wie kann der Einstieg in Unterrichtseinheiten problemorientiert gestaltet werden? Wie kann im Unterricht langfristig Problemlösefertigkeit gefördert werden, ohne andere Inhalte zu vernachlässigen? Wie gestalten Lehrkräfte die Rückschauphase am Ende einer Problemlösestunde? Und welche Schwierigkeiten sehen Lehrerinnen und Lehrer bei der Vorbereitung problemorientierten Unterrichts im Rahmen von Fortbildungen?
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Produkt- und Kettenregel
In dieser Unterrichtseinheit üben Ihre Schülerinnen und Schüler anhand von zahlreichen Beispielen und Aufgaben das Ableiten von Funktionstermen mithilfe der Produkt- und der Kettenregel. Sichere Kenntnisse und Fertigkeiten zu diesen Verfahren helfen den Lernenden – neben dem inhaltlichen Verständnis des Ableitungsbegriffs –, wenn sie die Differenzialrechnung inner- oder außermathematisch anwenden. Solche eingeübten Vorgehensweisen helfen den Jugendlichen später im Berufsleben, da sie schon an das korrekte, verständige, schnelle und sichere Abarbeiten von Handlungsvorschriften gewöhnt sind.
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Den Mittelwert einer Funktion auf einem Intervall berechnen
Wie viele Menschen infizieren sich wöchentlich durchschnittlich mit dem Corona-Virus? Dies ist nicht nur für die Johns-Hopkins-Universität interessant, sondern stellt eine aktuelle Anwendung des Mittelwerts von Funktionen dar. Vom Begriff des arithmetischen Mittels ausgehend erarbeiten sich die Lernenden in diesem Beitrag den Mittelwert von Funktionswerten. Dies führt sie schließlich zum Mittelwertsatz der Integralrechnung, dessen Beweis sie ebenfalls kennenlernen. Als Ausblick verweist der Beitrag auf den verwandten Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Die vorgestellten Begriffe vertiefen Ihre Schülerinnen und Schüler an einigen Aufgaben und zur Lernzielkontrolle finden Sie am Ende des Beitrags eine Klassenarbeit.
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Änderungsrate beim Flächeninhalt von Dreiecken
Beim Parkett verlegen geht es um jeden Millimeter. Besonders verwinkelte Räume und komplizierte Muster stellen eine Herausforderung dar. Bei einer strahlenförmigen Verlegung bilden sich ähnliche rechtwinklige Dreiecke. Wie sich ihr Flächeninhalt verändert, untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler in diesem Beitrag. Insbesondere erarbeiten sie sich zum Lösen und Überprüfen der Aufgaben den Umgang mit einer dynamischen Geometriesoftware.
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Änderungsrate beim Füllstand einer Talsperre
Die Dürre hatte die vergangenen Jahre viele Teile Europas fest im Griff. Sie lässt die Pflanzenwelt verkümmern, senkt den Grundwasserspiegel und den Wasserstand von Flüssen und Stauseen. Dadurch produzieren auch Wasserkraftwerke weniger „grünen“ Strom. Mit den Werkzeugen der Analysis untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler innerhalb dieses aktuellen Themas die Auswirkungen auf den Füllstand einer Talsperre.
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Konfidenz-Intervalle
Wie viel Prozent der Wähler werden sich bei der nächsten Bundestagswahl für die FDP entscheiden? Wie hoch wird die Wahlbeteiligung ausfallen? Solchen und ähnlichen Fragen können Ihre Schülerinnen und Schüler in diesem Beitrag statistisch auf den Grund gehen. Mit bekannten relativen Häufigkeiten aus Stichproben (etwa Umfragen) berechnen die Lernenden Konfidenzintervalle oder bestimmen bei bekannten Wahrscheinlichkeiten die zugehörigen Prognoseintervalle. Neben den genauen Formeln bietet dieser Betrag auch Näherungsformeln und Abschätzungen an, die auch ohne einen CAS-Rechner bestimmt werden können.
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Das Problem der vertauschten Briefe
Hektisch verteilt die Angestellte die Rechnungen in die voradressierten Umschläge. „Fertig!“, denkt sie, verlässt zufrieden das Büro und wirft die Post direkt noch ein. Doch welche unliebsamen Überraschungen könnten auf sie zukommen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist jede Rechnung im richtigen Kuvert? „Das Problem der vertauschten Briefe“ ist ein bekanntes Problem der Kombinatorik. Ihre Schülerinnen und Schüler lernen in diesem Beitrag Fixpunkte von Permutationen kennen und lösen dieses sowie ähnliche Probleme.
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Kreuzworträtsel zu stochastischen Grundbegriffen
Absolute und relative Häufigkeit, Bernoulli-Kette, hypergeometrische Verteilung – Ihren Schülern begegnen in der Stochastik viele Fachbegriffe. Erst ein sicherer Gebrauch derselben ermöglicht es, stochastische Problemstellungen wie sie z. B. in Abiturprüfungen gestellt werden, richtig zu lösen. Der Beitrag vertieft und festigt den Umgang mit stochastischen Vokabeln auf spielerische Weise. Setzen Sie die Rätsel als Auffrischung zu Beginn einer Unterrichtsstunde ein oder auch am Ende, um den Wissensstand Ihrer Schüler zu überprüfen.
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