Unterrichtsmaterialien Integralrechnung: Ganze Werke Seite 2/5
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Mathematik
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Gesamtwerk
Schwimmwettkampf an der Badebucht
In einem konkreten und anschaulichen Beispiel werfen die Schülerinnen und Schüler einen genauen Blick auf das mathematische Modell eines Badesees. Dabei bestimmen sie mit den Werkzeugen der Analysis die Abgrenzungen des Ufers, die Wege zur Bucht sowie die Größe eines vorhandenen Parkplatzes. Für einen stattfindenden Schwimmwettkampf ermitteln sie verschiedene Varianten für eine Schwimmstrecke und untersuchen die Entwicklung der Besucherzahlen am Tag des Wettkampfs. Dabei wenden die Jugendlichen ihr Können und Wissen über Ableitungs- und Integralfunktionen sowie über Geradengleichungen an.
Gesamtwerk
Extremwertprobleme und Flächenberechnungen bei einer Wurzelfunktionenschar
Bei einer Wurzelfunktionenschar und einer Geradenschar, die oft fälschlicherweise von Schülerinnen und Schülern aus der Wurzelfunktionenschar hergeleitet wird, werden die Parameter bestimmt, sodass bestimmte Eigenschaften vorliegen. Erweitert werden diese Aufgabenstellungen noch um Aufgaben zur Flächenberechnung von Dreiecken sowie zur Volumenberechnung von Körpern, die bei der Rotation eines Graphen um die x-Achse entstehen.
Gesamtwerk
Reelle Funktionen und Arkusfunktionen
Während die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens im Unterricht meist sehr ausführlich behandelt werden, beschränkt sich die Anwendung von deren Umkehrungen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens meist auf einen Tastendruck am Taschenrechner. Das vorliegende Material bietet Ihnen daher Übungsaufgaben, die Ihre Schülerinnen und Schüler tiefer in die Welt der Arkusfunktionen eintauchen lassen. Dabei bestimmen sie Definitions- sowie Wertebereiche und betrachten das Monotonieverhalten von Funktionen. Sie verknüpfen reelle Funktionen mit den Arkusfunktionen, bestimmen die zugehörigen Integrale und Ableitungen und zeichnen die Funktionsgraphen.
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Gesamtwerk
Abiturvorbereitung Analysis
Mit sechs Übungstests können Sie den Wissensstand Ihrer Schülerinnen und Schüler im Bereich der Analysis überprüfen und sie auf das schriftliche Abitur vorbereiten. Die Zeitvorgabe und der Bewertungsschlüssel helfen den Lernenden dabei, ihre Fähigkeiten unter realistischen Bedingungen zu erproben. Die Aufgaben decken dabei eine weite Bandbreite verschiedener Funktionen ab – angefangen von einfachen rationalen Funktionen bis hin zum Logarithmus oder dem Arkussinus.
Gesamtwerk
Integralrechnung
In einer Reihe von Übungsbeispielen beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit der Berechnung von Flächen und Volumina mithilfe der Integralrechnung. Dabei werden nicht nur exakte Berechnungen durchgeführt, in einem Beispiel stehen die Lernenden auch vor der Herausforderung, Intervallgrenzen nur näherungsweise zu bestimmen. Auch der Vergleich zwischen berechneten Flächen und Volumina wird in den Fokus gerückt. Zuletzt führen die Jugendlichen auch Kurvendiskussionen zu gegebenen Funktionen durch und interpretieren die Körper, die entstehen, wenn eine Kurve um die Koordinatenachsen rotiert.
Verwandte Themen
Gesamtwerk
Fit fürs schriftliche Mathematik-Abitur
In diesem Beitrag finden Sie Klausuren für den Grund- bzw. Leistungskurs zur Bearbeitung ohne (hilfsmittelfrei) und mit dem GTR bzw. CAS aus den Bereichen Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik. Die Bearbeitung der Klausuren soll zur Vorbereitung auf das schriftliche Abitur dienen. Eine Bepunktung der einzelnen Aufgaben, eine Bearbeitungszeitvorgabe sowie ein Bewertungsraster sorgen dabei für realistische Bedingungen.
Gesamtwerk
Extrempunkte, Wendepunkte, Tangente
In sechs Übungstests aus dem Bereich der Analysis befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit verschiedenen Funktionen. Im Rahmen von Kurvendiskussionen bestimmen sie Ableitungsfunktionen, Null- und Extremstellen sowie Wendepunkte. Ferner wenden sie die Integralrechnung zum Bestimmen von Flächeninhalten an. Jeder der Tests bietet auch eine Zeitvorgabe und ein Bewertungsschlüssel hilft Ihnen bei der Beurteilung des Leistungsstandes Ihrer Schülerinnen und Schüler. Alternativ können die Jugendlichen die Tests und die Zeitvorgaben auch zur Selbstüberprüfung unter realistischen Prüfungssituationen nutzen.
Gesamtwerk
Abschnittsweise definierte Funktionen
In diesem Beitrag beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit einer Reihe von Aufgaben, die sich um abschnittsweise definierte Funktionen drehen. Dabei kommen sowohl rationale Funktionen als auch Exponential-, Wurzel- oder Logarithmusfunktionen vor. Die Lernenden überprüfen die Stetigkeit und Differenzierbarkeit dieser Funktionen und betrachten das Monotonieverhalten. Auch Symmetrien der Funktionsgraphen werden näher untersucht. Kurvendiskussionen und Flächenberechnungen per Integral runden den Umfang der Aufgaben ab.
Gesamtwerk
Grundvorstellungen unterrichten
Wer Neues versteht und mit eigenen Erfahrungen verbindt, lernt es besser – das ist eine Binsenweisheit, die gerade auch für das Lernen von Mathematik gilt. Hier spielen die Grundvorstellungen eine wichtige Rolle. Wie können wir also die Entstehung und Entwicklung von Grundvorstellungen fördern? Die Beiträge in dieser Ausgabe zeigen auf, wie sich Grundvorstellungen vom Beginn der Schulzeit bis in die Sekundarstufe II hinein entwickeln - quer durch die Inhaltsgebiete, von Grundrechenarten bis zur analytischen Geometrie. Dabei wird deutlich, dass es sich bei Grundvorstellungen nicht um statische Vorstellungsbilder handelt, sondern um ein lebendiges System, das mit fortschreitendem Kompetenzaufbau zunehmend erweitert und vernetzt wird. Aus dem Inhalt: Situationen und Rechnungen verstehen, Dezimalbrüche subtrahieren; Vorstellungen zur Wahrscheinlichkeit in Worte fassen; Spiele zum Üben und vernetzen. Die zugehörige MatheWelt "Anteile bilden und Brpche verstehen mit WABIs" lässt Schüler:innen mit didaktischem Legematerial einen grundvorstellungsbasierten Einstieg in die Bruchrechnung erleben.
Gesamtwerk
Die Rolle von CAS beim Lernen, Lehren und Prüfen
Das Heft behandelt drei Themenbereiche: Im ersten Teil geht es um die Chance, bei Nutzung digitaler modularer Mathematiksysteme (MMS genannt) verschiedene Darstellungsformen dynamisch miteinander zu vernetzen, wobei die symbolische Darstellungsform und damit das Werkzeug CAS eine zentrale Rolle spielt, weil damit auch die Durchführung mathematischer Operationen möglich ist. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der wichtigen Rolle des Prüfens mit MMS. Eine alte Weisheit sagt: „Was nicht geprüft wird, wird auch nicht unterrichtet“. Neben den vielfältigen grafischen Lösungsmöglichkeiten verändert vor allem der Einsatz von CAS-Werkzeugen die Prüfungsaufgaben. Im dritten Teil werden Hürden beim Arbeiten mit CAS angesprochen. Der produktive Umgang mit diesen Hürden kann aber auch als Chance für den Unterricht erachtet werden.
Gesamtwerk
Parabeln und Integralrechnung
Parabeln mit festem Scheitelpunkt kennen die Jugendlichen bereits aus der Mittelstufe. Im Beitrag liegt der Scheitelpunkt jedoch variabel auf einer Parallelen zur x-Achse oder auf einer Geraden im 1. Quadranten und läuft durch einen weiteren festen Punkt. Ihre Schüler und Schülerinnen bestimmen mit weiteren Vorgaben die Parabelgleichung und berechnen die Fläche, die diese Parabel mit der x-Achse einschließt. Liegt der Scheitelpunkt auf einer Geraden, so bestimmen sie den Scheitelpunkt der Parabel mit dem maximalen Flächeninhalt. Abschließend werden die Aufgabenstellungen auf eine beliebige Parallele und eine beliebige Gerade im 1. Quadranten übertragen.
Gesamtwerk
Rotationskörper: Exponentialfunktionen
In dieser Aufgabensammlung befassen sich die Lernenden mit Funktionen, bei denen ein Exponentialterm im Zähler oder im Nenner vorkommt. Sie führen Kurvendiskussionen durch, bei denen sie Nullstellen sowie Extrem- und Wendepunkte bestimmen. Schließlich berechnen sie mittels Integration das Volumen, das durch Rotation eines Funktionsgraphen um die x-Achse entsteht.
Gesamtwerk
Rationale Funktionen und Exponentialfunktionen
Dieser Beitrag bietet Ihnen sechs Übungstests mit Aufgaben aus dem Bereich der Analysis. Die Schülerinnen und Schüler befassen sich dabei mit rationalen und gebrochenrationalen Funktionen sowie mit Exponentialfunktionen. Sie führen Kurvendiskussionen durch und berechnen Flächeninhalte mittels Integration. In einigen Aufgaben sind die Jugendlichen auch gefordert, mithilfe von vorgegebenen Funktionsgraphen oder anderen Informationen auf die zugrundeliegende Funktion zu schließen. Jeder der Tests kommt mit einer Zeitvorgabe, und bei der Beurteilung hilft Ihnen ein Bewertungsschlüssel.
Gesamtwerk
Abiturvorbereitung Analysis
Dieser Beitrag bietet sechs Übungstests, mit denen sich die Schülerinnen und Schüler auf das schriftliche Abitur vorbereiten können. Im Zuge der Aufgaben befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit rationalen und gebrochenrationalen Funktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen. Im Rahmen von Kurvendiskussionen bestimmen sie Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte, wenden Ableitungsregeln an und berechnen per Integral Flächeninhalte.
Gesamtwerk
Rotationskörper: Wurzelfunktionen
In dieser Aufgabensammlung befassen sich die Lernenden mit Funktionen oder Funktionenscharen, in denen Wurzelterme vorkommen. Im Rahmen von Kurvendiskussionen bestimmen sie Extrem- und Wendepunkte sowie Tangentengleichungen und zeichnen die Funktionsgraphen. Per Integralrechnung berechnen die Schülerinnen und Schüler schließlich nicht nur Flächeninhalte, sondern auch Volumina, die bei der Rotation der Graphen um die x-Achse entstehen.
Gesamtwerk
digital unterrichten – Mathematik -7/2022
digital unterrichten – Mathematik -7/2022
Gesamtwerk
Die Arcusfunktionen
In diesem Beitrag werden die Arcusfunktionen als Umkehrung der trigonometrischen Funktionen betrachtet und ausführlich in Beispielen und Aufgaben besprochen. Differentiation und Integration werden dabei ebenso behandelt wie die Verkettung mit anderen Funktionen. Anhand von vorgerechneten Beispielen wird den Lernenden demonstriert, wie sie mit den Funktionen arbeiten, ehe sie sich selbst an einer Reihe von Aufgaben versuchen.
Gesamtwerk
Die Fläche zwischen zwei Graphen mithilfe von Integralrechnung bestimmen
Im Kernstück dieser Unterrichtseinheit erarbeitet sich Ihr Oberstufenkurs im Mathematikunterricht die Formel zur Berechnung einer Fläche zwischen zwei Graphen im Themengebiet der Integralrechnung selbst. Durch die Heranführung an das Thema mithilfe des Genfersees werden die Lernenden durch ein hohes Maß an Realitätsbezug sowie das eigenständige Lernen motiviert. Die Einheit bietet zudem vielfältige Differenzierungsmöglichkeiten, sowohl bei der Erarbeitungsphase als auch bei den anschließenden Übungen.
Gesamtwerk
Übungstests
Dieser Beitrag bietet Ihnen eine Reihe von Übungstests zum Thema Integrieren und Differenzieren, mit denen Sie das Wissen Ihrer Schülerinnen und Schüler überprüfen können. Dabei steht in jedem Test eine andere Art von Funktion oder Funktionenschar im Mittelpunkt. So arbeiten die Lernenden entweder mit ganz- oder gebrochenrationalen Funktionen, mit Logarithmus- oder Exponentialfunktionen, und auch die Wurzelfunktion wird behandelt. Für jeden der Tests gibt es auch eine Zeitvorgabe, und eine Lernerfolgskontrolle hilft Ihnen bei der Beurteilung.
Gesamtwerk
Extremwertprobleme und Flächenberechnungen bei einer Wurzelfunktionenschar
Funktionsuntersuchungen mit der Bestimmung gewisser Eigenschaften des Graphen einer Funktion gehören zu den Standardaufgaben des Analysisunterrichts der Oberstufe. Dies lässt sich um Extremalwertaufgaben erweitern, indem zwischen zwei Graphen Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze eingefügt werden, deren Flächeninhalt maximal wird. Ebenso können Graphen den Umriss eines Rotationskörpers bilden, in dem ein Körper wie z. B. ein Kegel mit maximalem Volumen einbeschrieben wird. Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse mit einem GTR/CAS nur approximiert ausgegeben werden kann, werden zur Näherung das Sehnentrapezverfahren und das Simpson-Verfahren vorgestellt.
Gesamtwerk
Abiturvorbereitung Analysis
In diesem Beitrag finden Sie sechs Lernerfolgskontrollen bzw. Selbsttests zur Vorbereitung auf das schriftliche Abitur. Die Aufgaben beschäftigen sich mit verschiedenen gebrochen- und ganzrationalen Funktionen bzw. Funktionenscharen. Aber auch Wurzel-, Logarithmus- und Exponentialfunktionen bzw. -terme werden behandelt. Eine Bearbeitungszeitvorgabe sorgt dabei für realistische Bedingungen.
Gesamtwerk
Verhältnisse
Die Schülerinnen und Schüler üben bei der Lösung der hier gestellten Aufgaben den Umgang mit variablen Koeffizienten und schulen dadurch wesentlich ihr mathematischlogisches Denk- und Abstraktionsvermögen. Im Vordergrund stehen der Umgang mit allgemein geltenden Gesetzmäßigkeiten und die Arbeit mit Parametern und Variablen. Die aus konkreten Zahlenbeispielen resultierenden Vermutungen bezüglich Flächen- und Volumenverhältnissen sollen in diesem Beitrag allgemein untersucht und dadurch bestätigt bzw. widerlegt werden. Ziel ist auch, dass die Lernenden ihre Fähigkeit, Lösungsstrategien zu entwickeln, weiter vervollkommnen.
Gesamtwerk
Datenanalyse und Modellierung
Im Mittelpunkt des Beitrags steht die Modellierung der realen Daten des Rheinhochwassers im Februar 2021. Mithilfe einer modellierten Funktion beantworten die Lernenden z. B. Fragen nach der Sperrung von Parkplätzen, nach der Zeitdauer der eingeschränkten Schifffahrt auf dem Rhein oder dem Zeitpunkt des schnellsten Anstiegs. An realen Hochwasserdaten modellieren die Jugendlichen, wie viel Was-ser der Rhein transportiert und veranschaulichen dies an Beispielrechnungen.
Gesamtwerk
digital unterrichten – Mathematik –2/2022
digital unterrichten – Mathematik –2/2022
Gesamtwerk
Spielend diagnostizieren
Spiele im Matheunterricht - das ist Abwechslung, Lernanlass und bei richtiger Gestaltung auch ein informelles Diagnoseinstrument. Sprechanlässe und produktive Elemente bieten uns Einblicke in die Vorstellungswelt der Spielenden. Die Aufgaben im Spiel lassen Konzepte und auch Fehlvorstellungen zu Tage treten. Spielprotokolle und Beobachtungsbögen helfen bei der Auswertung und weiteren Untererrichtsgestaltung. Aus dem Inhalt: Basiswissen spielerisch festigen: Bruchsicher und Prozentia; Online-Spiele nutzen: SumBlocks und Funktionenquizz; Exponenten-Spiel; Stochastisches Gespür entwickeln im Borel-Quiz; Linearkombinationen als Kartenspiel; Scrum: Eine Methode zum eigenverantwortlichen Unterricht. Die MatheWelt enthält ein Escape-Spiel zu Termen und Gleichungen.
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