Unterrichtsmaterialien Ableitung: Ganze Werke Seite 3/6
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Aufgefrischt-und-wiederholt-Karten Mathematik 7-8
Wer kennt das nicht? Durch Krankheiten, Unterrichtsausfall, Corona, Ferien, Ausflüge oder Klassenfahrten ist die Lernzeit oft sehr kurz. Sie hätten gerne mehr Zeit, um wichtige Themen noch einmal aufzufrischen und mit der Klasse zu wiederholen? Und suchen schnell in verschiedenen Büchern und Heften Arbeitsblätter zusammen, kopieren sie und merken dann, dass manche Lernende lieber andere Themengebiete wiederholen sollten und diese Aufgaben teils überflüssig für sie waren ... Mit unseren 55 Karten bieten wir Ihnen die Lösung für Ihr Problem, denn hier werden die wichtigsten Themen aufgefrischt und wiederholt. Die Schüler*innen können dabei ganz individuell an ihren Defiziten arbeiten. Die Karten sind immer gleich aufgebaut: Auf der Vorderseite steht eine knappe und übersichtliche Erklärung, auf der Rückseite gibt es passende Aufgaben. Lösungen zur Selbstkontrolle runden das Angebot ab! Die Karten sind frei im Unterricht einsetzbar: jeden Tag 10 bis 15 Minuten oder innerhalb einer vorgegebenen Lernzeit - so werden Lernrückstände leicht aufgeholt! Das Kartenst enthält: 55 Karteikarten mit Erklärseite und Aufgabenseite; Motivierende Aufgaben in ansprechendem Layout; Lösungen zur Selbstkontrolle im digitalen Zusatzmaterial. Die Themen: Rationale Zahlen; Terme und Gleichungen; Zuordnungen; Prozentrechnung; Linerare Funktionen; Flächeninhalt und Umfang; Ebene Figuren; Geometrische Abbildungen; Volumen und Oberflächen. Inhaltliche Schwerpunkte: Lernrückstände Mathematik aufholen; Mathematik wiederholen; Corona-Lernrückstände aufholen; Rationale Zahlen wiederholen; Terme und Gleichungen wiederholen; Prozentrechnung wiederholen; Lineare Funktionen wiederholen; Geometrie wiederholen; Volumen und Oberflächen wiederholen; Flächeninhalte; Umfang und ebene Figuren.
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Die Ableitungsregeln als Kartenspiel
In der gymnasialen Oberstufe sind die Ableitungsregeln das A und O der Analysis. Wer diese sicher beherrscht, für den sind die späteren Kurvendiskussionen meist kein Problem. Warum die Ableitungsregeln nicht einfach mal spielerisch einüben? Angelehnt an das Kinderspiel „Der schwarze Peter“ sind Paare aus Funktion und deren Ableitung zu finden und es hat derjenige verloren, der am Ende die schwarze Ableitung hat. Das Spiel eignet sich bestens, Ihre Schülerinnen und Schüler zu motivieren und ihre Kenntnisse über die Ableitungsregeln zu festigen.
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Optimierung des Flächeninhalts
Extremwertprobleme, also die Bestimmung lokaler Minima oder Maxima, sind ein wesentlicher Baustein bei der Behandlung der Differentialrechnung, vor allem im Rahmen der innermathematischen Problematik „Kurvendiskussion“. Wichtiger und reizvoller ist für Schülerinnen und Schüler aber die Anwendung dieser Kenntnisse und Fertigkeiten auf Alltagsprobleme. Selbstgesteuerte Lernformen wie z. B. Probieren, Vermuten, Vergleichen und Präsentieren sind besonders motivierend für die Lernenden. Ergebnisse selbst zu ermitteln und anschließend durch Verallgemeinerung zu bestätigen, ist didaktisch sinnvoll für den Wissenserwerb und die Verinnerlichung der erworbenen Kenntnisse.
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Höhere Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte
Dieser Unterrichtsbeitrag behandelt das Thema Extrem- und Wendepunkte, für das die Jugendlichen höhere Ableitungen benötigen. Wie lese ich mögliche Extremstellen aus der Ableitungsfunktion heraus? Für was brauche ich die 2. und 3. Ableitung? Wie weise ich Extrem- und Wendepunkte überhaupt nach? Die Schülerinnen und Schüler lernen den Unterschied zwischen einer notwendigen und hinreichenden Bedingung kennen und festigen die zugehörigen theoretischen Grundlagen mithilfe von Lückentexten und Karteikarten. Zwei Schwierigkeitsgrade in den Aufgaben sorgen für einen differenzierten Unterricht.
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Extremale Aussagen
Dieser Beitrag motiviert Ihre Schülerinnen und Schüler und fordert sie auf, sich mit der Beweisführung in der Mathematik anhand extremaler Aussagen zu beschäftigen und diese an entsprechenden Beispielen zu überprüfen. Dazu verwenden sie Zusammenhänge aus der Geometrie der Ebene (Rechteck – Quadrat; gleichschenkliges Dreieck – gleichseitiges Dreieck) und des Raumes (Quader – Würfel, Pyramide – Tetraeder). Die Beweise führen die Jugendlichen dabei in den klassischen Schritten: Voraussetzung, Behauptung, Beweis.
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Größte und kleinste Werte
Für welchen Wert ist die Dreiecksfläche maximal? Wie lautet die Gerade, mit der die Kathetensumme minimal wird, und welchen minimalen Abstand hat ein Funktionsgraph zu einer Geraden? In diesem Beitrag beantworten Ihre Schülerinnen und Schüler diese und ähnliche Fragen mithilfe der Werkzeuge der Analysis. Die Aufgaben stärken besonders das Verstehen mathematischer Texte und festigen grundlegende Fertigkeiten des Mathematiklehrplans der Oberstufe.
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digital unterrichten – Mathematik –8/2021
Digitale Tools machen das Unterrichten einfacher - etwa die App zufallsdocu, mit der Ergebnisse von Zufallsexperimenten direkt individuell angeklickt und gesammelt werden können. Es entstehen Live-Statistiken - auch für die gesamte Klasse. Aus dem Inhalt: Projekte und Lernpatenschaften digital organisieren; Über die Macht der (KI-)Algorithmen; Mit Holzwürfeln und GeoGebra AR zum Volumenbegriff bei Quadern; Zufallsexperimente live erfassen; Mit GeoGebra vom Grad- zum Bogenmaß; Wie passt der Zylinder in den Raum? Selbstlernumgebung: Numerisches Lösen eines Extremwertproblems; Webservices selbst hosten (Technik-Tipp).
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Ableitungen im Buchstabennetz
Rätsel faszinieren Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit. Während sie beim Buchstabensalat Worte streichen und am Ende ein Lösungswort ablesen können, werden sie im vorliegenden Beitrag durch berechnete Steigungen, die ein Graph einer Funktion an einer Stelle annimmt, gelenkt, um einen Lösungssatz in einem Buchstabennetz zu finden. Der Beitrag macht sich somit den motivierenden Aspekt von Rätseln zunutze. Zur Berechnung der Steigungen müssen die Lernenden die Summen-, Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel bei unterschiedlichen Funktionsklassen anwenden.
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Nullstellen ganzrationaler Funktionen
Dieser Beitrag soll Ihren Schülerinnen und Schülern ein vielschichtiges Verständnis der Nullstellenberechnung mithilfe der PQ-Formel/Mitternachtsformel, Ausklammern, Substitution und höheren Verfahren vermitteln. Die Materialien enthalten Aufgaben des produktiven Übens und sind somit sinnstiftend, entdeckungsoffen, reflexiv und selbstdifferenzierend. Das Unterrichtsvorhaben besteht aus einer Kombination aus analogen und digitalen Elementen und ist dadurch gerade auch für ein hybrides Lernsetting geeignet. Weiterhin ermöglicht das Material Ihnen differenziert und individuell auf die Bedürfnisse einzelner Schülerinnen und Schüler einzugehen.
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Wirtschaftsmathematik: 77 Aufgaben, die Bachelorstudierende beherrschen müssen
Jutta Arrenberg stellt 77 Klausuraufgaben mit Lösungen vor. Im Mittelpunkt stehen u.a. die Matrizenrechnung sowie Gleichungssysteme, die Grenzwerte und die Differentiation von Funktionen mit dazugehöriger (partieller) Ableitung, die Kurvendiskussion von f(x) sowie f(x,y) und last but not least die Extremstellen unter Nebenbedingungen mit der Einsetz- und der Lagrange-Methode. Auf häufig gemachte Fehler in Klausuren weist die Autorin explizit hin, ebenso auf die aufzuwendende Zeit und den Schwierigkeitsgrad pro Aufgabe. Auch alle wichtigen Formeln aus der Schulzeit und dem Studium sind im Buch zu finden. Zudem verrät sie, wie sich Studierende richtig auf die Prüfung vorbereiten, und gibt Tipps für die Klausur.
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Ableitung - verstehen und anwenden
Dieser Unterrichtsbeitrag behandelt das Thema Ableitung, die Grundlage für alle Funktionenbetrachtungen in der Oberstufe. Damit die Ableitung für die Schülerinnen und Schüler nicht nur ein abstrakter Begriff bleibt, wird sie zuerst mithilfe von GeoGebra und eigenen Grafiken visualisiert. In diesem Beitrag geht es insbesondere darum, selbst aktiv zu werden und in Zusammenarbeit mit anderen den Ableitungsbegriff zu verstehen und die Ableitungsregeln so zu verinnerlichen, um den Schrecken vor ihnen zu verlieren.
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Ableitung von Exponentialfunktionen
Ausmalbilder bzw. Mandalas kennen die Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit. Der Beitrag macht sich den motivierenden Aspekt von Ausmalbildern zunutze. Vorwiegend durch Anwenden der Summen-, Produkt- und Kettenregel bestimmen die Lernenden die Ableitung von Exponentialfunktionen und entdecken durch Vergleich mit den vorgegebenen Ableitungen die auszumalende Fläche.
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Learning to the test: Passung schaffen
Schriftliche Prüfungen bestimmen allzu oft den Unterrichtsverlauf. Das Trainieren und Einüben von Aufgaben für den anstehenden Test oder die Klausur verdrängt das Verstehen. Wird das Prüfen jedoch konstruktiver Bestandteil des Unterrichts, können Lernen und Prüfen Hand in Hand zu einer Förderung der Selbstverantwortung der Lernenden führen Anhand verschiedener Beispiele zu unterschiedlichen Inhalten wird gezeigt, wie Schülerinnen und Schüler einen konstruktiven Umgang mit Fehlern lernen sowie tragfähige Wiederholungsbausteine erarbeiten und verwenden können, die zu einem individuellen Learning to the test und selbstverantwortlicher Prüfungsvorbereitung führen. Aus dem Inhalt: Sinnstiftend wiederholen; Metablick auf Abituraufgaben; Lernen für die Abschlussprüfung – mit Sinn & System. Die zugehörige MatheWelt „Funktioniert’s mit Funktionen? – Mach den smart-Test“ stellt anhand der angepassten Übersetzung zweier australischer smart-Tests ein Konzept vor, anhand dessen sich die Lernenden mithilfe von Lösungen und Tipps selbst kontrollieren und ihr Verständnis erweitern können.
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Das Newtonverfahren zur Nullstellenbestimmung
Das Newtonnäherungsverfahren ist ein numerisches Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von differenzierbaren Funktionen. Im Unterricht kann dieses Verfahren gut mit einer Tabellenkalkulationssoftware umgesetzt werden. Auf diese Weise können digitale Kompetenzen in Verbindung mit mathematischen Inhalten aufgebaut und vertieft werden. Der Beitrag baut auf einer beispielhaften Anwendungssituation mit Bezug zur CO2-Emission in Deutschland auf, sodass ein handlungs- und problemorientierter Unterricht gestaltet werden kann.
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Einen Funktionsterm zu gegebenen Eigenschaften eines Graphen ermitteln
Wie baut man eine Straßenbahnbrücke, zählt Käferpopulationen und sagt Wasserstände an der Nordseeküste voraus? Drei völlig unterschiedliche Probleme, doch ihre Lösung ist gleich: Man modelliert die Vorgänge mit Funktionen. In diesem Beitrag bestimmen Ihre Schülerinnen und Schüler anhand von lebensnahen Aufgaben mit den Werkzeugen der Analysis die Funktionsterme von ganzrationalen, gebrochen-rationalen und trigonometrischen Funktionen sowie Wurzel-, Logarithmus- und Exponentialfunktionen.
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Grenzwerte
Interessant ist das Verhalten von Funktionen in Bereichen, welche nicht unmittelbar zugänglich sind, z. B. im Unendlichen oder in der Umgebung von Definitionslücken. Dieser Beitrag stellt den theoretischen Hintergrund vor, vertieft das Wissen der Lernenden anhand von Aufgaben und bietet Ihnen die Möglichkeit, Ihre Schüler und Schülerinnen mit einer Klassenarbeit zu testen.
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Praxishandbuch 3D-Druck im Mathematikunterricht
Die 3D-Druck-Technologie stellt ein leicht zu handhabendes, innovatives und zuverlässiges digitales Werkzeug für einen anschaulichen und anwendungsbezogenen Mathematikunterricht dar. Durch das Zusammenspiel aus CAD-Software und 3D-Druckern lässt sich das Mathematiklehren und -lernen im Unterricht in vielen Inhaltsbereichen ansprechend und differenzierend gestalten. Auf Grund einer technischen und einer ausführlichen fachdidaktischen Einführung sind keine besonderen Vorkenntnisse in Sachen 3D-Druck notwendig. Das Buch beinhaltet fünfzehn konkret ausgearbeitete, an aktuellen Bildungsvorgaben orientierte Unterrichtseinheiten mit Kopiervorlagen und Lösungshinweisen zu zentralen Themen der Sekundarstufen I und II (Geometrie, Algebra, Funktionen, Wahrscheinlichkeitsrechnung).
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Die Entwicklung von Covid-19 aus mathematischer Sicht
Diese Unterrichtseinheit bietet anhand authentischer Kontexte die Möglichkeit, insbesondere die Kompetenzbereiche Modellieren und Werkzeuge nutzen zu stärken. Mathematik kann sich nur im Wechselspiel zwischen der Theorie und der Realität entwickeln, um so einen Beitrag zu leisten, die uns umgebende Welt zu verstehen und mitzugestalten. Die Materialien erlauben weitgehend eine selbstständige Erarbeitung der Sachzusammenhänge. Der GTR nimmt in diesem Beitrag einen breiten Raum ein, zum einen ist er ein wichtiges Hilfsmittel für die Berechnungen und grafischen Darstellungen im Zusammenhang mit Modellfunktionen, zum anderen bietet er Experimentiermöglichkeiten, um beispielsweise die e-Funktion als Lösung der Zerfallsgleichung durch Probieren zu finden.
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Teste dein Wissen
Diese Sammlung von Tests für die gymnasialen Oberstufe zur Diskussion von gebrochenrationalen Funktionen lässt sich ideal zur Prüfungsvorbereitung nutzen. Die Schülerinnen und Schüler erlangen selbstständig oder in Gruppenarbeit ein vertieftes Verständnis von Funktionsgraphen, die sie mithilfe der Differential- und Integralrechnung sowie der Berechnung von Grenzwerten untersuchen. Anhand von fünf möglichen Tests werden zentrale Argumentationsmuster einer Kurvendiskussionen verinnerlicht. Testen auch Sie das mathematische Wissen Ihrer Klasse.
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Wirtschaftsmathematik für Bachelor
Die Mathematik ist wichtiger Bestandteil eines wirtschaftswissenschaftlichen Bachelorstudiums. Studierende werden deswegen bereits in den ersten Semestern mit Themen wie zum Beispiel Matrizen, Linearen Gleichungen und der Lagrange-Methode konfrontiert. Dieses erfolgreiche Lehrbuch stellt in der 6., überarbeiteten und erweiterten Auflage die für das Studium relevanten mathematischen Verfahren dar. Die Autorin legt dabei größten Wert auf Verständlichkeit: Jedes Kapitel nennt vorab Lernziele. Wichtige Definitionen und Sätze sind hervorgehoben, Beispiele sowie Prüfungstipps illustrieren den Stoff. Zusammenfassungen und zahlreiche Übungen mit Lösungen helfen zudem dabei, den Stoff zu vertiefen und sich optimal auf die Prüfung vorzubereiten. Das Lehrbuch richtet sich an Studierende der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre.
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Die Bedeutung der zweiten Ableitung – Abiturvorbereitung
Funktionale Zusammenhänge zwischen zwei Zahlenbereichen (üblicherweise x und y=f(x)) werden gern als Graphen dargestellt, deren Steigungsverhalten sich in vielfältiger Weise ändern kann. Der Graph kann steigen, dann immer stärker steigen oder immer weniger stark, Entsprechendes gilt für das Fallen. Analytisch wird dieses graphische Verhalten beschrieben durch die erste bzw. zweite Ableitung und insbesondere deren Vorzeichen bzw. Nullstellen. Haben die Schüler die Ankeridee der ersten Ableitung verstanden, stellt auch der Transfer auf die Ableitung der Ableitung bzw. die zweite Ableitung kein großes Problem mehr dar.
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Risiken begegnen
Sind Sie eher risikofreudig oder risikoscheu? Wie wirken statistische Aussagen auf uns? Es gibt verschiedene Sichtweisen auf das „Risiko“, das sich letztlich als Wahrscheinlichkeit, als Wert einer Zufallsgröße oder als Erwartungswert beschreiben lässt. Mit Unsicherheiten gut umzugehen will gelernt sein und „Risikokompetenz“ gilt manchen als eine der zukünftigen Schlüsselkompetenzen. Im Mathematikunterricht lässt sich das Thema ganz gefahrlos aufgreifen. Der Umgang mit Wahrscheinlichkeiten und stochastischen Überlegungen bekommt dadurch mehr Relevanz und der Unterricht kann spannender gestaltet werden. So können Rollenspiele zum Autokauf Kosten-Nutzen-Abwägungen verdeutlichen oder mithilfe von Risikobewertungen die unterschiedlichen Rollen der Nullhypothese H0 und der Alternative H1 selbstständig entdeckt werden. Aus dem Inhalt: • Grundgedanken der Spieltheorie erleben • Risikoveränderungen darstellen • Spiele untersuchen und Hypothesen testen Mit der zugehörigen MatheWelt können die Lernenden (ab 8. Schuljahr) in einem Spiel nachvollziehen, wie der sogenannte „Morbi-RSA“, der Risikostrukturausgleich für die gesetzlichen Krankenkassen aufgebaut ist. Dabei kommt nehmen kontextbezogenen Berechnungen von Kosten und Prozenten auch der Zufall in Spiel.
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Bedeutung und Konstruktion von Tangenten
Der Beitrag zeigt vielfältige Möglichkeiten auf, den Stellenwert und die Bedeutung der Tangente innermathematisch und im Kontextbezug zu stärken. Gestalten Sie einen kompetenzorientierten und auf Verständnis basierenden Mathematikunterricht, indem Sie z. B. Eigenschaften der Kreistangenten nutzen, um bei einer Parabel mithilfe eines Spiegels Tangenten zu konstruieren. Ergänzt wird der Beitrag durch drei Aspekte aus dem Lebensumfeld der Schüler, zu dem die Steigung von Fußgängerbrücken ebenso zählt wie knickfreie Übergänge im Straßenverkehr.
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Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
In diesem Beitrag werden im Theorieteil einige Beispiele zu Extremwertaufgaben aufgeführt, beispielsweise wie man den zum Ursprung nächsten Kurvenpunkt oder das größtmögliche Quadervolumen in einer Pyramide erhält. Anschließend führen Ihre Schüler abgestimmte Aufgaben zu Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen durch und können mit der Leistungskontrolle ihren Lernfortschritt prüfen.
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Quadrat falten
In diesem Beitrag üben Ihre Schüler unter anderem das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und das Aufstellen von Geradengleichungen.
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