Unterrichtsmaterialien Mathematik: Ganze Werke
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Eigenschaften von Funktionen
Während in manchen Aufgaben dieses Materials die Eigenschaften bestimmt werden müssen, geht eine Reihe von Beispielen den umgekehrten Weg. Gegeben sind bestimmte Eigenschaften, anhand derer die Schülerinnen und Schüler herausfinden müssen, wie die zugehörigen Funktionsgleichungen lauten. Es handelt sich um anspruchsvolle Aufgaben, die sich an fortgeschrittene Schülerinnen und Schüler richten, die nach Herausforderungen suchen. In manchen Beispielen empfiehlt es sich auch, den Jugendlichen beratend und mit Tipps zur Seite zu stehen.
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Schwimmwettkampf an der Badebucht
In einem konkreten und anschaulichen Beispiel werfen die Schülerinnen und Schüler einen genauen Blick auf das mathematische Modell eines Badesees. Dabei bestimmen sie mit den Werkzeugen der Analysis die Abgrenzungen des Ufers, die Wege zur Bucht sowie die Größe eines vorhandenen Parkplatzes. Für einen stattfindenden Schwimmwettkampf ermitteln sie verschiedene Varianten für eine Schwimmstrecke und untersuchen die Entwicklung der Besucherzahlen am Tag des Wettkampfs. Dabei wenden die Jugendlichen ihr Können und Wissen über Ableitungs- und Integralfunktionen sowie über Geradengleichungen an.
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Die Vase und andere Rotationskörper
Durch Rotation von Funktionsgraphen um die x-Achse entstehen Körper, deren Volumen die Schülerinnen und Schüler per Integralrechnung bestimmen können. Dabei lassen sich auch komplexere Körper durch abschnittsweise definierte Funktionen zusammensetzen. Auf diese Weise lassen sich auch reale Gegenstände wie eine Vase oder eine Glühbirne mit wenigen mathematischen Funktionen beschreiben. In den Aufgaben dieses Materials üben die Schülerinnen und Schüler die Integralrechnung, führen aber auch Kurvendiskussionen durch oder berechnen die Schnittpunkte verschiedener Funktionen.
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Die verschiedenen Formen der Ebenengleichung
Ebenen lassen sich auf verschiedene Arten darstellen. Zunächst lernen die Schülerinnen und Schüler die Koordinatenform und die Parameterform der Ebenengleichung kennen und versuchen sich an Übungsaufgaben zu diesen Darstellungsvarianten. Danach befassen sie sich mit der allgemeinen Normalenform sowie der Hesse-Form. Dabei werden auch Anwendungsmöglichkeiten für Abstandsberechnungen und geometrische Ortsaufgaben präsentiert. In einer Reihe von Übungsbeispielen er-proben und festigen die Jugendlichen schließlich das Erlernte.
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Geraden, Ebenen, Pyramiden und besondere Punkte
In mehreren Aufgaben wenden die Schülerinnen und Schüler ihr Wissen in der analytischen Geometrie an. Dabei erfordert der Weg zum richtigen Ergebnis es auch, Zusammenhänge aus dem Text der Angaben herauszulesen, um die Werkzeuge der Mathematik richtig einsetzen zu können. So müssen die Jugendlichen beispielsweise erkennen, dass die Mittelpunkte aller Kugeln, deren Oberfläche zwei gegebene Punkte enthält, auf einer Ebene liegen. Ein anderes Beispiel basiert auf der Erkenntnis, dass ein Eckpunkt der Grundfläche einer Pyramide sich mit Hilfe einer Geraden ergibt, die durch die Spitze und einem Punkte entlang der Seitenkante verläuft. Freude an Tüfteleien, kombiniert mit räumlichem Vorstellungsvermögen, wird den Schülerinnen und Schülern beim Lösen der Aufgaben eine große Hilfe sein.
Verwandte Themen
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Reflexion und analytische Geometrie
Beim Billard, Squash oder auch beim Tischtennis kann man idealisierte Reflexionsvorgänge betrachten, wenn man besondere Voraussetzungen in der Ebene bzw. im Raum berücksichtigt. In diesem Beitrag untersuchen die Jugendlichen eine Reflexion eines Lichtstrahls an einer Spiegelebene, die den physikalischen Gesetzen folgt. Dies fördert insbesondere das räumliche Vorstellungsvermögen der Lernenden und verbindet Mathematik mit Physik.
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Die Poisson-Verteilung
Bei der Poisson-Verteilung handelt es sich um eine diskrete Verteilung, die auch als Verteilung der seltenen Ereignisse bekannt ist. In diesem Material lernen die Schülerinnen und Schüler die verschiedenen Arten kennen, auf die sie sich verwenden lässt. Zum einen kommt sie als Näherung für eine Binomialverteilung, also für eine große Zahl von Bernoulli-Experimenten zum Einsatz. Die zweite Einsatzmöglichkeit besteht darin, bei Ereignissen, bei denen nur ein Mittelwert bekannt ist, wie etwa der Untersuchung durchschnittlicher Häufigkeiten in einem Zeitintervall, kann mit ihrer Hilfe auf die Ereigniswahrscheinlichkeiten geschlossen werden. Zuletzt dient sie zur Beschreibung und Überprüfung von empirisch betrachteten Verteilungen. Die Schülerinnen und Schüler lernen zunächst anhand durchgerechneter Beispiele die einzelnen Verwendungsarten kennen, ehe sie das Gelernte selbst in einer Reihe von Aufgaben anwenden.
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Bernoulli-Ketten untersuchen
Bei diesem Unterrichtsmaterial lernen die Schülerinnen und Schüler, stochastisch sinnvoll mit verschiedenen Würfeln umzugehen. Ob farbige oder ideale Würfel, ob Würfel mit negativer Augenzahl oder gefälschte – jede Konstellation wird unter Berücksichtigung ihrer Eigenheiten untersucht. Anhand vielfältiger Übungsaufgaben wenden die Lernenden Binomialverteilung und Pfadregeln an, um Bernoulli-Ketten unterschiedlicher Art zu bestimmen.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Die Lernenden erkennen in diesem Unterrichtsmaterial, dass sich die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse in der Mathematik deutlich von der gängigen Alltagsvorstellung unterscheidet. Am Beispiel eines Baumdiagramms wird zunächst die stochastische Unabhängigkeit definiert. Anschließend erarbeiten sich die Lernenden weitere Erkennungsmerkmale und den Zusammenhang mit dem umgangssprachlichen Begriff der Unabhängigkeit. Schließlich übt Ihre Klasse das erworbene Wissen anhand von zahlreichen Aufgaben ein, ehe eine Lernerfolgskontrolle die Einheit abrundet.
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Integralrechnung
In einer Reihe von Übungsbeispielen beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit der Berechnung von Flächen und Volumina mithilfe der Integralrechnung. Dabei werden nicht nur exakte Berechnungen durchgeführt, in einem Beispiel stehen die Lernenden auch vor der Herausforderung, Intervallgrenzen nur näherungsweise zu bestimmen. Auch der Vergleich zwischen berechneten Flächen und Volumina wird in den Fokus gerückt. Zuletzt führen die Jugendlichen auch Kurvendiskussionen zu gegebenen Funktionen durch und interpretieren die Körper, die entstehen, wenn eine Kurve um die Koordinatenachsen rotiert.
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Reelle Funktionen und Arkusfunktionen
Während die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens im Unterricht meist sehr ausführlich behandelt werden, beschränkt sich die Anwendung von deren Umkehrungen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens meist auf einen Tastendruck am Taschenrechner. Das vorliegende Material bietet Ihnen daher Übungsaufgaben, die Ihre Schülerinnen und Schüler tiefer in die Welt der Arkusfunktionen eintauchen lassen. Dabei bestimmen sie Definitions- sowie Wertebereiche und betrachten das Monotonieverhalten von Funktionen. Sie verknüpfen reelle Funktionen mit den Arkusfunktionen, bestimmen die zugehörigen Integrale und Ableitungen und zeichnen die Funktionsgraphen.
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Extremwertprobleme und Flächenberechnungen bei einer Wurzelfunktionenschar
Bei einer Wurzelfunktionenschar und einer Geradenschar, die oft fälschlicherweise von Schülerinnen und Schülern aus der Wurzelfunktionenschar hergeleitet wird, werden die Parameter bestimmt, sodass bestimmte Eigenschaften vorliegen. Erweitert werden diese Aufgabenstellungen noch um Aufgaben zur Flächenberechnung von Dreiecken sowie zur Volumenberechnung von Körpern, die bei der Rotation eines Graphen um die x-Achse entstehen.
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Abiturvorbereitung Analysis
Mit sechs Übungstests können Sie den Wissensstand Ihrer Schülerinnen und Schüler im Bereich der Analysis überprüfen und sie auf das schriftliche Abitur vorbereiten. Die Zeitvorgabe und der Bewertungsschlüssel helfen den Lernenden dabei, ihre Fähigkeiten unter realistischen Bedingungen zu erproben. Die Aufgaben decken dabei eine weite Bandbreite verschiedener Funktionen ab – angefangen von einfachen rationalen Funktionen bis hin zum Logarithmus oder dem Arkussinus.
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Kreise
In zwei Aufgabenblättern beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit einer Reihe von Aufgaben zum Thema Kreis. Anhand der Gleichungen bestimmen sie Mittelpunkte und Radien, berechnen Schnittpunkte und stellen Tangentengleichungen auf. Auch das Aufstellen einer Kreisgleichung anhand gegebener Tangenten oder Punkte ist Teil der Aufgaben. Ferner stellen sich die Lernenden der Frage, ob gegebene Kreise symmetrisch in Bezug zu einer Geraden sind. Indem sie zu einzelnen Beispielen Skizzen anfertigen, vereinfachen die Schülerinnen und Schüler sich die Aufgaben.
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Flugzeug und Ball
Am Beispiel eines Flugzeugs und eines Balls betrachten die Schülerinnen und Schüler eine geradlinige, gleichförmige Bewegung. Anhand vorgegebener Positionen des Flugzeugs treffen sie Vorhersagen darüber, zu welchen Zeitpunkten es andere Punkte erreichen und wie hoch es dabei fliegen wird. Ferner untersuchen die Lernenden, welchen Weg ein geworfener Ball in einem quaderförmigen Raum zurücklegt. Dabei muss auch das Abprallen an den Wänden in die Überlegungen mit einbezogen werden.
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